Да, получается так. Что помешало авторам использовать именно это слово - не понятно. Всё-таки "наткнуться" и "пересечься" - это разное. Корень-то - cross.
Потому что переводится смысл фразы в каждом конкретном случае.
I came across my old friend in the mall yesterday - вчера случайно встретил своего старого друга в молле
I came across a word I'd never seen before - Увидел слово которого никогда раньше не видел
Ну так вместо идеи может быть что иное любое другое, или нет? Я не пойму.
Я пришёл с неведомой лазерной пушкой в руках. I come up with incredible lazer gun in my hands.
I came up with an incredible lazer gun in my hands - в данном смысле оно скорей означало бы "я додумался до / пришла в голову идея пушки в руках". Но могло бы означать и "я поднялся наверх с пушкой".